1.      Matrices

Concepto general de una matriz. Matrices especiales: cuadrada, diagonal, identidad, triangular superior y triangular inferior, simétrica, antisimétrica, vector fila y vector columna. Álgebra de matrices: suma y multiplicación de matrices, y multiplicación por escalar. Propiedades básicas del álgebra de matrices.

2.     Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Sistemas de $n$ ecuaciones lineales en m variables homogéneos y no homogéneos. Solución y conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. Matriz de coeficientes y matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. Operaciones elementales sobre las filas de una matriz. Matrices equivalentes. Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes y su relación con las operaciones elementales sobre las filas de una matriz. Forma escalonada y forma escalonada reducida. Rango de una matriz. Método de reducción de Gauss-Jordan. Solución de un sistema de ecuaciones lineales que depende de uno o más parámetros. Sistemas consistentes, inconsistentes, con solución única y con infinitas soluciones.

3.     Matrices invertibles

Inversa de una matriz y matrices invertibles. Matrices elementales y matrices inversas. Método de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz. Matrices invertibles y sistemas lineales. Matrices idempotentes y nilpotentes. Matriz transpuesta y sus propiedades.

4.     Determinantes

Definición de determinante de una matriz cuadrada y sus propiedades elementales. Menores y cofactores de una matriz $n\times n$. Cálculo del determinante de una matriz triangular. Determinante de una matriz invertible. Determinante de la transpuesta de una matriz. Cálculo de determinantes aplicando operaciones elementales sobre las filas o columnas de matriz. Cálculo de la inversa de una matriz usando la matriz adjunta. Regla de Cramer. Relación entre el rango de una matriz y su determinante.

5.     Geometría vectorial

Representación geométrica de un vector. Suma y resta de vectores, representación geométrica y propiedades. Producto escalar de vectores y sus propiedades. Norma de un vector. Ángulo entre dos vectores. Producto cruz en $\mathds{R}^3$ y sus propiedades. Aplicaciones al cálculo de áreas y volúmenes. Proyecciones ortogonales en $\mathds{R}^2$ y $\mathds{R}^3$.

6.     Rectas y planos

Descripción de una recta en $\mathds{R}^3$. Ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de una recta en $\mathds{R}^3$. Planos en $\mathds{R}^3$. Ecuación vectorial y normal de un plano en $\mathds{R}^3$. Hiperplanos en $\mathds{R}^n$. Distancias entre dos puntos. Distancia entre un punto y una recta. Distancia entre dos planos. Distancia entre un punto y un plano, y entre dos rectas.

1.     Espacios vectoriales

Definición y propiedades básicas de los espacios vectoriales. Ejemplos de espacios vectoriales. Subespacio vectorial. Combinación lineal de un conjunto de vectores de un espacio vectorial. Conjunto generador de un espacio vectorial. Bases ordenadas y dimensión de un espacio vectorial. Coordenadas de un vector con respecto a una base ordenada. Espacio fila y espacio columna de una matriz. Intersección y suma de subespacios vectoriales.

2.     Ortogonalidad y proyecciones

Conjuntos de vectores, bases y subespacios ortogonales. Bases ortonormales. Complemento ortogonal de un subespacio. Proyección ortogonal sobre un subespacio vectorial. Método de ortonormalización de Gram-Schmidt.

3.     Transformaciones lineales

Concepto de transformación lineal. Determinación de una transformación lineal conocida su acción sobre sobre una base. Núcleo e imagen de una transformación lineal. Inyectividad y sobreyectividad de una transformación lineal. Relación entre las dimensiones del dominio, el núcleo y la imagen de una transformación lineal. Matriz asociada a una transformación lineal. Transformación lineal asociada a una matriz. Espacio nulo y espacio imagen de una matriz. Composición de transformaciones lineales. Matriz de cambio de base. Rotaciones y reflexiones. Transformaciones lineales invertibles.

4.     Valores y vectores propios: Diagonalización

Concepto de valor y vector propio. Subespacio asociado a un valor propio. Polinomio característico de una matriz. Multiplicidad algebraica y geométrica. Diagonalización de matrices. Matrices ortogonalmente diagonalizables. Valor y vector propio de una transformación lineal. Diagonalización de transformaciones lineales. Transformaciones lineales ortogonalmente diagonalizables.