Cualquiera de los siguientes objetivos pueden ser evaluados en el primer parcial:

Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Determinar si una ecuación dada es lineal o no, respecto de las variables involucradas.
2. Identificar la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales.
3. Escribir un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial (matriz aumentada).
4. Aplicar operaciones elementales a las filas de la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales para obtener el conjunto solución del sistema.
5. Expresar, adecuadamente, el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales.
6. Calcular la forma escalonada reducida de una matriz.
7. Determinar si dos matrices dadas son equivalentes por filas.
8. Determinar el rango fila de una matriz.
9. Determinar si un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente, comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada del sistema.
10. Estudiar sistemas de ecuaciones lineales, homogéneos o no, con coeficientes alfa numéricos, determinando condiciones algebraicas sobre los coeficientes para que el sistema sea inconsistente, o tenga solución única, o tenga infinitas soluciones y en este último caso determinar el número de parámetros libres de los cuales depende el conjunto solución del sistema.

Matrices

1. Reconocer una matriz, establecer su dimensión, identificar sus filas y sus columnas, referirse a sus elementos de acuerdo al puesto que ocupan en la matriz.
2. Clasificar una matriz como cuadrada, triangular inferior, triangular superior, o diagonal.
3. Calcular la matriz transpuesta de una matriz, e identificar si una matriz dada es simétrica o no.
4. Determinar cuando es posible sumar dos matrices.
5. Sumar matrices, multiplicar matrices por números reales, identificar la matriz nula como elemento neutro de la suma de matrices.
6. Determinar en cuales casos es posible multiplicar dos matrices.
7. Multiplicar matrices y conocer la no conmutatividad del producto de matrices.
8. Identificar a la matriz identidad como elemento neutro para la multiplicación de matrices.
9. Conocer y aplicar las propiedades de la multiplicación de matrices: asociatividad, distributividad respecto de la suma de matrices, producto de un escalar por el producto de dos matrices.
10. Conocer y aplicar las propiedades de la trasposición de matrices en relación con la suma y el producto de matrices y la multiplicación por escalar.
11. Conocer el concepto inverso multiplicativo de una matriz y su unicidad, cuando exista la matriz inversa.
12. Determinar en qué casos una matriz cuadrada tiene inversa.
13. Calcular la inversa de una matriz, cuando esta exista.
14. Resolver ecuaciones matriciales, aplicando las propiedades algebraicas de la suma y la multiplicación, de la transposición y de la inversión de matrices.
15. Reconocer una combinación lineal de un conjunto de vectores en e identificar el producto de una matriz por un vector columna como una combinación lineal de las columnas de dicha matriz.
16. Determinar si un conjunto de vectores en es linealmente independiente asociando esto a determinar si un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene solución única y/o hallando el rango de la matriz cuyas columnas (filas) es el conjunto de vectores dado.
17. Aplicar el Teorema Resumen en que se relacionan los conceptos previos estudiados.

Determinantes

1. Calcular el determinante de una matriz 2 x 2.
2. Calcular el determinante de una matriz triangular.
3. Conocer las propiedades del determinante de una matriz respecto a las operaciones elementales sobre sus filas o sus columnas.
4. Aplicar operaciones elementales sobre las filas y/o columnas de una matriz para llevarla a forma triangular y calcular su determinante.
5. Conocer y aplicar la linealidad por filas (columnas) del determinante de una matriz.
6. Conocer y aplicar las propiedades del determinante respecto a la multiplicación y la trasposición de matrices.
7. Calcular el determinante de la matriz inversa de una matriz dada, invertible.
8. Determinar, calculando el determinante, si una matriz cuadrada dada es invertible o no.
9. Conocer y aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales, con igual número de ecuaciones que de variables y matriz de coeficientes invertible.
10. Aplicar el Teorema Resumen en que se relacionan los conceptos previos estudiados.

Geometría Vectorial

1. Interpretar flechas entre puntos de como vectores.
2. Interpretar geométricamente la suma de dos vectores y el producto de un escalar por un vector.
3. Calcular el producto punto de dos vectores y la norma de un vector.
4. Determinar el coseno del ángulo formado por dos vectores.
5. Conocer y aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
6. Determinar la proyección ortogonal de un vector sobre otro.
7. Calcular el producto vectorial de dos vectores en y conocer sus propiedades algebraicas.
8. Aplicar el producto vectorial en para calcular áreas de paralelogramos y volúmenes de paralelepípedos.
9. Interpretar el valor absoluto del determinante de una matriz 3 x 3 como el volumen del paralelepípedo formado por sus vectores fila.
10. Aplicar los conceptos de la geometría vectorial para resolver problemas geométricos.

Rectas y Planos

1. Determinar una ecuación vectorial para una línea recta en .
2. Determinar ecuaciones paramétricas para una línea recta en .
3. Determinar ecuaciones simétricas para una línea recta en .
4. Determinar una ecuación vectorial para un plano en .
5. Determinar una ecuación normal para un plano en .
6. Generalizar el concepto de ecuación normal para un plano en al concepto de hiperplano en .
7. Determinar intersecciones entre dos líneas rectas, entre una línea recta y un plano y entre dos planos.
8. Determinar la distancia entre dos puntos de .
9. Determinar la distancia entre un punto y una línea recta, entre dos líneas rectas, entre una línea recta y un plano y entre dos planos.
10. Resolver problemas geométricos relacionados con líneas rectas y planos.

Espacios Vectoriales

1. Conocer la estructura algebraica de espacio vectorial sobre .
2. Determinar si una estructura algebraica dada, sobre un conjunto, lo hace espacio vectorial o no.
3. Reconocer a , al conjunto de matrices de dimensión m x n, al conjunto de polinomios de grado menor o igual que n, a conjuntos de funciones de valor real definidos adecuadamente y a otras estructuras conocidas por los estudiantes, como espacios vectoriales sobre .
4. Conocer las propiedades algebraicas básicas de un espacio vectorial.
5. Determinar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial.
6. Determinar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial.
7. Reconocer subespacios formados por las combinaciones lineales de un conjunto finito de vectores de un espacio vectorial.
8. Hallar un conjunto generador de vectores para un subespacio vectorial dado.
9. Conocer el concepto de base y dimensión de un espacio vectorial.
10. Hallar bases para los espacios fila y columna de una matriz.
11. Hallar bases para subespacios generados por un conjunto de vectores conocidos.
12. Determinar el vector coordenado de un vector de un espacio vectorial, con respecto a una base fija.
13. Determinar condiciones para que un conjunto de vectores, que dependen de uno o más parámetros, sea linealmente independiente.

Cualquiera de los siguientes contenidos puede ser evaluados en el primer parcial:

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales

Concepto general de una matriz. Matrices especiales. Álgebra de matrices. Propiedades básicas del álgebra de matrices. Sistemas de n ecuaciones lineales en m variables. Solución y conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. Matriz de coeficientes y matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. Operaciones elementales sobre las las de una matriz. Matrices equivalentes.
Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes y su relación con las operaciones elementales sobre las filas de una matriz. Forma escalonada y forma escalonada reducida. Rango de una matriz. Método de reducción de Gauss-Jordan. Solución de un sistema de ecuaciones lineales que dependeConcepto general de una matriz. Matrices especiales. Álgebra de matrices. Propiedades básicas del álgebra de matrices. Sistemas de n ecuaciones lineales en m variables. Solución y conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. Matriz de coeficientes y matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. Operaciones elementales sobre las las de una matriz. Matrices equivalentes.
Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes y su relación con las operaciones elementales sobre las filas de una matriz. Forma escalonada y forma escalonada reducida. Rango de una matriz. Método de reducción de Gauss-Jordan. Solución de un sistema de ecuaciones lineales que depende de uno o más parámetros. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos. de uno o más parámetros. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos.

Matrices Invertibles

Inversa de una matriz y matrices invertibles. Método de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz. Matrices invertibles y sistemas lineales. Matriz transpuesta y sus propiedades. Combinación lineal de un conjunto de vectores de . Dependencia e independencia lineal de un conjunto de vectores dInversa de una matriz y matrices invertibles. Método de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz. Matrices invertibles y sistemas lineales. Matriz transpuesta y sus propiedades.
Combinación lineal de un conjunto de vectores de . Dependencia e  independencia lineal de un conjunto de vectores de e.

Determinantes

Definición del determinante de una matriz cuadrada y sus propiedades elementales. Cálculo del determinante de una matriz triangular. Determinante de una matriz invertible. Determinante de la transpuesta de una matriz. Cálculo de determinantes aplicando operaciones elementales sobre las filas y/o columnas de matriz. Regla de Cramer. Cálculo de la inversa de una matriz usando la matriz adjunta. Relación entre el rango de una matriz y su determinante.

Geometría Vectorial

Representación geométrica de un vector. Suma y resta de vectores, su representación geométrica y propiedades. Producto escalar de vectores y sus propiedades. Norma de un vector. Ángulo entre dos vectores. Producto cruz en , propiedades y aplicaciones. Proyecciones ortogonales en y .

Rectas y Planos

Descripción de una línea recta en . Ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de una línea recta en . Planos en . Ecuación vectorial y normal de un plano en. Hiperplanos en . Distancia entre dos puntos. Distancia entre un punto y una recta. Distancia entre dos rectas, entre un punto y un plano, y entre dos planos.

Espacios Vectoriales

Definición y propiedades básicas de los espacios vectoriales. Ejemplos de espacios vectoriales incluyendo espacios de matrices y polinomios. Subespacio vectorial. Combinación lineal de un conjunto de vectores de un espacio vectorial. Conjunto generador de un espacio vectorial. Dependencia e independencia lineal en conjuntos de vectores, matrices, polinomios.

Cualquiera de los siguientes objetivos pueden ser evaluados en el segundo parcial.

Espacios Vectoriales (continuación)

1. Determinar bases para la intersección y la suma de subespacios vectoriales de un espacio
   vectorial dado.
2. Conocer el concepto de base y dimensión de un espacio vectorial.
3. Hallar bases para los espacios fila y columna de una matriz.
4. Hallar bases para subespacios generados, ya sea por un conjunto de vectores conocidos, por matrices o por polinomios.
5. Determinar el vector de coordenadas de un elemento de un espacio vectorial.
6. Determinar condiciones para que un conjunto de vectores, que dependen de uno o más parámetros, sea linealmente independiente.

Ortogonalidad y Proyecciones

1. Reconocer un conjunto ortogonal de vectores de un espacio vectorial con producto interno.
2. Reconocer un conjunto ortonormal de vectores de un espacio vectorial con producto interno.
3. Determinar el complemento ortogonal de un subespacio dado.
4. Obtener una base ortonormal a partir de una base dada de un subespacio. (Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.)
5. Obtener la proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio vectorial.
6. Reconocer subespacios formados por las combinaciones lineales de un conjunto finito de vectores de un espacio vectorial.
7. Hallar un conjunto generador de vectores para un subespacio vectorial dado.
8. Calcular la distancia de un punto a un subespacio vectorial.
9. Aplicar el Teorema que relaciona los conceptos previos estudiados.​

Transformaciones Lineales

1. Conocer el concepto de transformación lineal y sus propiedades básicas.
2. Determinar si una función dada entre dos espacios vectoriales es una transformación lineal.
3. Reconocer los subespacios núcleo e imagen de una transformación lineal.
4. Obtener bases para el núcleo y la imagen de una transformación lineal.
5. Determinar completamente una transformación lineal, a partir de las imágenes de los elementos de una base de su dominio.
6. Determinar completamente una transformación lineal a partir de las imágenes de algunos objetos geométricos dados.
7. Determinar si una transformación lineal es inyectiva.
8. Determinar si una transformación lineal es sobreyectiva.
9. Conocer y aplicar la relación entre las dimensiones del dominio, el núcleo y la imagen de una transformación lineal.
10. Conocer que la suma de transformaciones lineales, la multiplicación por escalar de una transformación lineal y la composición de transformaciones lineales es una transformación lineal.
11. Conocer que el conjunto de todas las transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales tiene estructura de espacio vectorial, con las operaciones usuales.
12. Reconocer que todo matriz de dimensión m x n determina una transformación lineal de en .
13. Obtener una representación matricial para una transformación lineal dada de en con respecto a las bases canónicas, e identificar la acción de la aplicación lineal como una multiplicación de una matriz por un vector.
14. Obtener una representación matricial para una transformación lineal dada de en con respecto a bases dadas para el dominio y el producto de matrices.
15. Reconocer una representación matricial de la transformación identidad, como una matriz de cambio de base.
16. Obtener distintas representaciones matriciales de una transformación lineal, mediante multiplicación por matrices de cambio de base.
17. Determinar si una transformación lineal es invertible y en caso afirmativo obtener la transformación lineal inversa.
18. Conocer la relación entre transformaciones lineales invertibles y matrices invertibles y aplicarlo a obtener inversas de transformaciones lineales inyectivas. (Biyectivas sobre su Imagen).
19. Determinar cuando una transformación lineal es un isomorsmo.
20. Aplicar el Teorema que relaciona los conceptos previos estudiados.

Valores y Vectores Propios

1. Conocer los conceptos de valor y vector propio de una matriz cuadrada.
2. Calcular el polinomio característico de una matriz cuadrada.
3. Identificar los valores propios de una matriz cuadrada con las raíces de su polinomio característico.
4. Conocer el concepto de espacio propio correspondiente a un valor propio.
5. Determinar los espacios propios correspondientes a los distintos valores propios de una matriz cuadrada, obteniendo una base para cada uno de tales espacios propios.
6. Identificar la multiplicidad algebraica y geométrica de un valor propio.
7. Determinar si una matriz dada A es diagonalizable y en caso que lo sea obtener una matriz invertible C tal que sea diagonal.
8. Determinar si una matriz dada A es ortogonalmente diagonalizable y en caso que lo sea obtener una matriz ortogonal P tal que sea diagonal.
9. Conocer que una matriz real es ortogonalmente diagonalizable si y solo si es simétrica.
10. Interpretar y aplicar todo lo desarrollado para matrices cuadradas a los operadores lineales en .
11. Aplicar el Teorema que relaciona los conceptos previos estudiados.

Curvas y Superficies Cuadráticas

1. Conocer el concepto de forma cuadrática.
2. Expresar una forma cuadrática en forma matricial. (Representada por una matriz simétrica)
3. Eliminar los términos mixtos de una forma cuadrática, mediante la diagonlización ortogonal de la matriz asociada y un cambio de variables apropiado.
4. Aplicar la diagonalización ortogonal de las formas cuadráticas a la representación, en forma canónica, de las secciones cónicas.
5. Dada una ecuación cuadrática en dos variables, identificar la sección cónica correspondiente, llevarla a una representación canónica y representarla gráficamente, dibujando, en un mismo gráfico, los ejes correspondientes a las variables originales, los ejes correspondientes a la transformación efectuada para llevar la sección cónica a su forma canónica; e indicar el valor del ángulo de rotación de los ejes originales (si hay rotación).
6. Dada una ecuación cuadrática en tres variables, identificar la superficie cuadrática correspondiente, llevarla a una ecuación canónica, e indicar el valor de los ángulos de rotación de los ejes originales (si hay rotación) respecto de cada uno de los nuevos ejes.

Cualquiera de los siguientes contenidos pueden ser evaluados en el segundo examen parcial.

Espacios Vectoriales(continuación)

Bases y dimensión de un espacio vectorial. Coordenadas de un vector con respecto a una base. Espacio fila y espacio columna de una matriz. Intersección y suma de subespacios vectoriales.

Ortogonalidad y Proyecciones

Conjuntos de vectores ortogonales. Bases ortonormales. Complemento ortogonal de un subespacio. Proyección ortogonal sobre un subespacio. Método de ortonormalización de Gram-Schmidt para la construcción de bases ortonormales. Distancia de un punto a un subespacio vectorial.

Transformaciones Lineales

Concepto de transformación lineal. Determinación de una transformación lineal conocida su acción sobre una base. Núcleo e imagen de una transformación lineal. Inyectividad y sobreyectividad de una transformación lineal. Relación entre las dimensiones del dominio, el núcleo y la imagen de una transformación lineal. Matriz asociada a una transformación lineal. Transformación lineal asociada a una matriz. Composición de transformaciones lineales y producto de matrices. Matriz de cambio de base. Rotaciones y reflexiones. Transformaciones lineales invertibles.

Valores y Vectores Propios

Concepto de valor y vector propio. Subespacio asociado a un valor propio. Polinomio característico de una matriz. Diagonalización de matrices. Matrices ortogonalmente diagonalizables. Valor y vector propio de un operador lineal. Diagonalización de operadores lineales. Operadores lineales ortogonalmente diagonalizables.

Curvas y Superficies Cuadráticas

Formas cuadráticas. Diagonalización de formas cuadráticas. Curvas y superficies cuadráticas. Ecuaciones canónicas de las curvas y superficies cuadráticas. Rotación y traslación de las secciones cónicas. Ejes principales y ángulo de rotación.