1. Resolver ecuaciones diferenciales de primer orden lineal y no lineal por los métodos clásicos.

2. Resolver ecuaciones diferenciales lineales de cualquier orden con coeficientes constantes y la ecuación de Euler.

3. Utilizar series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales.

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

Definición de ecuación diferencial ordinaria y ejemplos básicos. Orden y solución de una ecuación diferencial ordinaria. Existencia y unicidad de problemas de Cauchy. Ecuaciones diferenciales en variables separables. Ecuaciones exactas y reducibles a exactas mediante un factor integrante. Sustituciones en ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones homogéneas. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y reducibles a ellas (ecuaciones de Bernoulli y ecuaciones de Riccatti).

2. Ecuaciones diferenciales lineales de orden arbitrario homogéneas

Independencia lineal de soluciones. La fórmula de Abel. El Wronskiano. Existencia y unicidad de problemas de valor inicial. Problemas de contorno (frontera). Ecuaciones lineales homogéneas. Polinomio característico. Soluciones particulares y solución general de una ecuación homogénea con coeficientes constantes.

3. Ecuaciones diferenciales lineales de orden arbitrario no homogéneas

Ecuaciones lineales no homogéneas. Operadores y anuladores diferenciales. Método de coeficientes indeterminados. Ecuación de Cauchy-Euler. El método de variación de parámetros. La ecuación de Cauchy-Euler.

4. Soluciones en series de potencias

Definición de una función analítica. Solución de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables mediante series de potencias. Puntos ordinarios y puntos singulares. El método de Frobenius.

4. Resolver las ecuaciones de Legendre y de Bessel.

5. Utilizar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales.

6. Aplicar el método de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales.

1. Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes constantes

Definición de un sistema de ecuaciones diferenciales. Operadores diferenciales y reducción gaussiana. Forma matricial de un sistema de ecuaciones diferenciales. Matriz fundamental de un sistema. Resolución de sistemas de sistemas de ecuaciones mediante valores y vectores propios. El método de variación de parámetros para sistemas.

2. La transformada de Laplace

Definición de la transformada de Laplace. Existencia y linealidad de la transformada de Laplace. Transformada de Laplace de funciones elementales. Propiedades operaciones con demostración (teoremas de traslación, transformada de un producto o cociente de funciones. Derivada de la transformada de Laplace, la transformada de Laplace de una derivada o una integral de una función. Transformada de Laplace de una función periódica.) Convolución de funciones y su transformada de Laplace. Funciones especiales y sus transformadas de Laplace: función de Heaviside, la distribución delta de Dirac, función Gamma. Transformada inversa de Laplace. Aplicación de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales, ecuaciones integro-diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales.

3. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

Definición y ejemplos introductorios. Series de Fourier. El método de separación de variables para ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.